《函數(shù)的單調(diào)性》的說課稿
各位專家,評委:
大家好! 我是x號考生陳光倩。我說課的內(nèi)容是普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學必修1
第一章第三節(jié)第一課時《函數(shù)的單調(diào)性》，下面我將從教材分析、教學目標、教學方法、，教學過程、學習評價五個方面向大家介紹我對本節(jié)課的理解與設計，不妥之處，敬請指教。
一, 教材分析
教材分析主要體現(xiàn)在以下三個方面：
其一，.教材的地位和作用 。
首先，學生在初中學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象，對增減性有一個初步的感性認識。本節(jié)課進一步學習函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義，從數(shù)和形兩個方面理解單調(diào)性的概念。而在高三利用導數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性。所以本節(jié)課的學習,既是初中學習的延續(xù)和深化，又為高二、三學習不等式、極限、導數(shù)等其它數(shù)學知識的學習奠定基礎，也是解決數(shù)學問題的常用工具，也是培養(yǎng)學生邏輯推理能力和滲透數(shù)形結合思想的重要素材。因此本節(jié)課具有相當重要的地位和作用。
其二，教學目標。
新課改的精神在于以學生發(fā)展為本，能力培養(yǎng)為重。根據(jù)數(shù)學課程標準的課程目標、課程要求以及本節(jié)課的內(nèi)容和結構。我確定如下教學目標：
1.使學生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念,初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷,證明函數(shù)單調(diào)性的方法.
2.通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究,滲透數(shù)形結合數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生 觀察,歸納,抽象的能力和語言表達能力;通過對函數(shù)單調(diào)性的證明,提高學生的推理論證能力.
3.通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察,認真分析,嚴謹論證的良好思 維習慣;讓學生經(jīng)歷從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性的認知過程.
其三，教學重點與難點。
教學重點，教學重在教學過程，學生在探索的活動過程中，能夠主動認知，建構創(chuàng)造力使學生潛力得到充分發(fā)揮。所以我認為本節(jié)課的教學重點為函數(shù)單調(diào)性的概念，判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性。
對單調(diào)性直觀感性的認識上升到理性的高度, 這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學生來說比較困難.其次,單調(diào)性的證明是學生在函數(shù)學習中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容,而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的.因此我認為本節(jié)課的叫教學難點難點是引導學生歸納并抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性.。
二、教法與學法分析：
教學方法，根據(jù)教學內(nèi)容, 教學目標和學生的認知水平, 主要采取教師啟發(fā)講授,學生探究學習的教學方法，并充分利用現(xiàn)代教學手段。教學過程中,根據(jù)教材提供的線索,安排適當?shù)慕虒W情境,讓學生展示相應的數(shù)學思維過程,使學生有機會經(jīng)歷數(shù)學概念抽象的各個階段,引導學生獨立自主地開展思維活動,深入探究。學法指導，新課改將以學生發(fā)展為本，把學生的主動權還給學生，倡導積極主動、用于探索的方式。因此，本節(jié)課主要采用動手實踐、自主探索、合作交流的學習方法。通過讓學生動手做一做、畫一畫，讓學生主動獲得知識，從而創(chuàng)造性地解決問題,最終形成概念,獲得方法,培養(yǎng)能力。
三 教學過程的設計
為達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程設計為四個階段:創(chuàng)設情境,引入課題;歸納探索,形成概念;掌握證法,適當延展;歸納小結,提高認識.具體過程如下:
(一)創(chuàng)設情境,引入課題
概念的形成主要依靠對感性材料的抽象概括, 只有學生對學習對象有了豐富具體經(jīng)驗以后,才能使學生對學習對象進行主動的,充分的理解,因此在本階段的教學中,我從具體材料——有關奧運會天氣的例子，引入函數(shù)的單調(diào)性。使學生體會到研究函數(shù)單調(diào)性的必要性,同時激發(fā)學生的學習興趣和主動探究的精神。
在課前,我給學生布置了兩個任務:
(1) 由于某種原因,2008 年北京奧運會開幕式時間由原定的 7 月 25 日推遲 到 8 月 8 日,請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.
(2) 通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.
課上通過交流,可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因,北京的天氣到 8 月中旬,平均氣溫,平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降,比較適宜大型國 際體育賽事.
課上我引導學生觀察 20xx 年 8 月 8 日的氣溫變化曲線圖,引導學生體會在某些時段溫度升高,某些時段溫度降低.
然后,我指出生活中我們關心很多數(shù)據(jù)的變化,并讓學生舉出一些實際例子 (如燃油價格等). 隨后進一步引導學生歸納:所有這些數(shù)據(jù)的變化,用函數(shù)觀點看,其實就是隨著自變量的變化,函數(shù)值是變大還是變小.
(二)歸納探索,形成概念
在本階段的教學中, 為使學生充分感受數(shù)學概念的發(fā)生與發(fā)展過程和數(shù)形結合的數(shù)學思想,經(jīng)歷觀察、歸納、抽象的探究過程,加深對函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)認識,我設計了三個環(huán)節(jié),引導學生分別完成對單調(diào)性定義的三次認識.
1. 借助圖象,直觀感知
本環(huán)節(jié)的教學主要是從學生的已有認知出發(fā), 即從學生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā),直觀感知函數(shù)的單調(diào)性,完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認識.
在本環(huán)節(jié)的教學中,我主要設計了兩個問題:
問題 1:分別作出函數(shù)y?x?2，y??x?2，y?x2以及y?
變量變化時,函數(shù)值有什么變化規(guī)律?
在學生畫圖的基礎上,引導學生觀察圖象,獲得信息:第一個圖象從左向右 逐漸上升,y 隨 x 的增大而增大;第二個圖象從左向右逐漸下降,y 隨 x 的增大 而減小.然后讓學生明確,對于自變量變化時,函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù),我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù). 而后兩個函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明, 通過討論使學生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質(zhì).
對于概念教學,若學生能用自己的語言來表述概念的相關屬性,則能更好的理解和掌握概念,因此我設計了問題
問題2:能否根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù),減函數(shù)?
教學中,我引導學生用自己的語言描述增函數(shù)的定義:
如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升,或者如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上隨自變量 x 的增大,y 也越來越大,我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù).
然后讓學生類比描述減函數(shù)的定義.至此,學生對函數(shù)單調(diào)性就有了一個直觀、描述性的認識.
2. 探究規(guī)律,理性認識
在此環(huán)節(jié)中,我設計了兩個問題,通過對兩個問題的研究,交流,討論,將 函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式, 使學生對單調(diào)性的認識由感性認識上升到理性認識的高度,使學生完成對概念的第二次認識
問題 1:下圖是函數(shù)y?x?2
x(x?0) y 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增 函1x的圖像，并且觀察自
數(shù)和減函數(shù)嗎? 函數(shù)和減函數(shù)嗎?
對于問題 1,學生的困難是難以確定分界點的確切位置. 通過討論, 使學生感受到用函 數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀, 但有時不夠精確,需要結合解析式進行嚴密化,精確化的研究,使學生體會到用數(shù)量大小關系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性, 從而將函數(shù)的單調(diào)性研究，從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式.
問題 2:如何從解析式的角度說明f(x)?x2在 [0,+∞ ) 上為增函數(shù)?
在前邊的鋪墊下,問題 2 是形成單調(diào)性概念的關鍵.在教學中,我組織學生 先分組探究,然后全班交流,相互補充,并及時對學生的發(fā)言進行反饋,評價, 對普遍出現(xiàn)的問題組織學生討論,在辨析中達成共識.
對于問題 2,學生錯誤的回答主要有兩種:
(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù), 例如 1 和 2, 因為12?22,所以f(x)?x2在 [0,+∞) 上為增函數(shù).
(2)仿(1),取很多組驗證均滿足,所以f(x)?x2在 [0,+∞) 上為增函數(shù).
對于這兩種錯誤,我鼓勵學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析.引導學生明確問題的根源是兩個自變量不可能被窮舉.在充分討論的基礎上,引導學生從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量 x1,x2 ,然后求差比較函數(shù)值的大小,從而得到 正確的回答:
任意取0?x1?x2,有x1?x2?(x1?x2)(x1?x2)?0, 所以f(x)?x在 [0,+∞ )
為增函數(shù).
這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì),也讓學生領悟到兩點:(1)兩自變量的取值具有任意性;(2)求差比較它們函數(shù)值的大小.事實上,這種回答也給出了證明 單調(diào)性的方法,為后續(xù)用定義證明其他函數(shù)的.單調(diào)性做好鋪墊,降低難度.至此, 學生對函數(shù)單調(diào)性有了理性的認識.
3. 抽象思維,形成概念
本環(huán)節(jié)在前面研究的基礎上,引導學生歸納,抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義,使學生經(jīng)歷從特殊
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到一般,從具體到抽象的認知過程,完成對概念的第三次認識
教學中,我引導學生用嚴格的數(shù)學符號語言歸納,抽象增函數(shù)的定義,并讓學生類比得到減函數(shù)的定義.然后我指導學生認真閱讀教材中有關單調(diào)性的概念, 對定義中關鍵的地方進行強調(diào).
同時我設計了一組判斷題:
判斷題: ①已知函數(shù)f(x)?1
x,因為f(?1)?f(2), 所以函數(shù)f(x)是增函數(shù) .
②若函數(shù)f(x)滿足f(2)?f(3),則函數(shù)f(x)在[2,3]上為增函數(shù).
③若函數(shù)f(x)在 (1,2] 和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù)f(x)在(1,3)上為增函數(shù). ④ 因為函數(shù)f(x)?1
x在(-∞,0)和(0,+∞ )上都是減函數(shù) , 所以f(x)?1
x在(-∞,0)
∪(0,+∞ )上是減函數(shù).
通過對判斷題的討論,強調(diào)三點:
①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的, 離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調(diào)性. ②有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù)), 有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù)),有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù)).
③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間 A,B 上都是增(或減)函數(shù),一般不能認為函數(shù)在 A ∪ B 上是增(或減)函數(shù).從而加深學生對定義的理解,完成本階段的教學.
(三)掌握證法,適當延展
本階段的教學主要是通過對例題和練習的思考交流,分析講解以及反思小結,使學生初步掌握根據(jù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法,同時引導學生探究定義的等價形式,對證明方法做適當延展.
例 證明函數(shù)f(x)?x?2
x在(2,??)上是增函數(shù).
在引入導數(shù)后,用定義證明單調(diào)性的作用已經(jīng)有所降低,我選擇一個較難的例子,主要是考慮讓學生對證明過程中遇到的問題有一個比較深刻的認識.
證明過程的教學分為三個環(huán)節(jié):難點突破,詳細板書,歸納步驟.
1. 難點突破
對于函數(shù)單調(diào)性的證明, 由于前邊有對函數(shù)f(x)?x在[0,+∞)上為增函數(shù)的研究作鋪墊, 大部分學生能完成取值和求差兩個步驟:
2
證明:任取x1,x2?(2,??), 且x1?x2,
f(x1)?f(x2)?(x1?2x1)?(x2?2x2)，
因此學生的難點主要是兩個函數(shù)值求差后的變形方向以及變形的程度.問題主要集中在兩個方面:一方面部分學生不知道如何變形,不敢動筆; 另一方面部分學生在變形不徹底,理由不充分的情形下就下結論.
針對這兩方面的問題 ,教學中,我組織學 生討論,引導學生回 顧函數(shù)f(x)?x2在
[0,+∞)上為增函數(shù)的說明過程,明確變形的主要思路是因式分解.然后我引導學生從已有的認知出發(fā),考慮分組分解法, 即把形式相同的項分在一起, 變形后容易找到公因式(x1?x2),提取后即可考慮判斷符號.
2.詳細板書
在上面分析的基礎上,我對證明過程進行規(guī)范,完整的板書,引導學生注意證明過程的規(guī)范性和嚴謹性,幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣.
證明:任取任取x1,x2?(2,??), 且x1?x2, 設元
f(x1)?f(x2)?(x1?2x1)?(x2?2x2
2
x2) 求差 ?(x1?x2)?(2x1?) 變形 ?(x1?x2)?2(x2?x1)x1x2 ?(x1?x2)x2x1?2x1x2 由于x1,x2?(2,??)，得x1x2?2， 斷號
又由x1?x2，得x1?x2?0
于是f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2) 所以，函數(shù)f(x)?x?
3.歸納步驟
2x在(2,??)上是增函數(shù)。 定論
在板書的基礎上,我引導學生歸納利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟 (設元,求差,變形,斷號,定論).通過對證明過程的分析,使學生明確每一步的必要性和目的,特別是第三步,讓學生明確變形的方法以及變形的程度,幫助學生掌握方法,提高學生的推理論證能力. 為了鞏固用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法,強化解題步驟,形成并提高解題能力,我設計了課堂練習:
證明:函數(shù)f(x)?x在 [0,+∞) 上是增函數(shù).
教學過程中,我引導學生分析這種敘述與定義的等價性.然后,讓學生嘗試用這種定義等價形式證明之前的課堂練習.這種方法進一步發(fā)展可以得到導數(shù)法,為今后用導數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆.
(四)歸納小結,提高認識
本階段通過學習小結進行課堂教學的反饋, 組織和指導學生歸納知識, 技能, 方法的一般規(guī)律,深化對數(shù)學思想方法的認識,為后續(xù)學習打好基礎.
1.學習小結
在知識層面上,引導學生回顧函數(shù)單調(diào)性定義的探究過程,使學生對單調(diào)性概念的發(fā)生與發(fā)展過程有清晰的認識,體會到數(shù)學概念形成的主要三個階段:直觀感受,文字描述和嚴格定義.
在方法層面上,首先引導學生回顧判斷,證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟;然后引導學生回顧知識探究過程中用到的思想方法和思維方法,如數(shù)形結合,等價 轉(zhuǎn)化,類比等,重點強調(diào)用符號語言來刻畫圖形語言,用定量分析來解釋定性結 果;同時對學習過程作必要的反思,為后續(xù)的學習做好鋪墊.
2.布置作業(yè)
在布置書面作業(yè)的同時,為了尊重學生的個體差異,滿足學生多樣化的學 習需要,我設計了探究作業(yè)供學有余力的同學課后完成.
(1) 證明 : 函數(shù)f(x)在(a, b)上是增函的充要條件是對任意的x.,x?h?(a,b),且h ≠ 0, 有f(x?h)?f(x)
h?0
目的是加深學生對定義的理解, 而且這種方法進一步發(fā)展同樣也可以得到導數(shù)法.
(2) 研究函數(shù)y?x?1
x(x?0)的單調(diào)性,并結合描點法畫出函數(shù)的草圖.
目的是使學生體會到利用函數(shù)的單調(diào)性可以簡化函數(shù)圖象的繪制過程, 體會由數(shù)到形的
研究方法和引入單調(diào)性定義的必要性,加深對數(shù)形結合的認識.
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