例談不等式恒成立中參數(shù)范圍的確定論文
論文導(dǎo)讀:例談不等式恒成立中參數(shù)范圍的確定，初中數(shù)學(xué)論文。
論文關(guān)鍵詞：例談不等式恒成立中參數(shù)范圍的確定
確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍，常需靈活應(yīng)用函數(shù)與不等式的基礎(chǔ)知識(shí)在兩者間進(jìn)行合理的交匯，因此此類問(wèn)題屬學(xué)習(xí)的重點(diǎn)；然而，怎樣確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍？課本中從未論及，但它卻成為近年來(lái)命題測(cè)試中的常見(jiàn)題型，因此此類問(wèn)題又屬學(xué)習(xí)的熱點(diǎn)；在確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍時(shí)，需要在函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想指引下，靈活地進(jìn)行代數(shù)變換、綜合地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)初中數(shù)學(xué)論文，方可取得較好的解題效果，因此此類問(wèn)題的求解當(dāng)屬學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．筆者試對(duì)此類問(wèn)題的求解策略與方法作一提煉總結(jié)．
一、不等式解集法
不等式在集合A中恒成立等價(jià)于集合A是不等式解集B的`子集；通過(guò)求不等式的解集并研究集合間的關(guān)系便可求出參數(shù)的取值范圍．
例1 已知時(shí)，不等式|x2－5|<4恒成立，求正數(shù)a的取值范圍．
解 由得；由| x2－5 | < 4得1< x2< 9，－3 < x <－1或1 < x < 3．記A =， B = (－3,－1)∪(1, 3)， 則AB．∴－3 ≤<≤－1（無(wú)解）或1≤<≤3，∴0< a≤，故正數(shù)a的取值范圍(0, ]．
二、函數(shù)最值法
已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)?[m, n]，則f (x)≥a恒成立f (x)min≥a，即m > a；f (x) ≤a恒成立n≤a．據(jù)此，可將恒成立的不等式問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大、最小值問(wèn)題．
例2 若不等式2x－1 > m (x2－1)對(duì)滿足－2≤m≤2的一切m都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
分析 若將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合[－2, 2 ]是關(guān)于m的不等式(x2－1) m<2x－1的解集的子集，則解不等式需分類討論．若今f (m) = (x2－1) m－ (2x－1)，則可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f (m)在[－2, 2 ]上的最大值小于零，而f (m)是“線性”函數(shù)初中數(shù)學(xué)論文，則最值在區(qū)間端點(diǎn)處取得，便有如下簡(jiǎn)解．
解 令 f(m) = (x2－1) m－(2x－1)， 則 f (m) < 0 恒成立 f (m)max< 0
，解之得<x<，即x 的取值范圍為(,)．
例3 若不等式x2－m(4xy－y2) + 4m2y2≥0對(duì)一切非負(fù)的x, y值恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解 若y = 0，則原不等式恒成立；若y≠0，則原不等式可化為
≥0；令t =，則t≥0且g(t) = t2－4mt + m + 4m2≥0．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)g(t)在區(qū)間[0,+∞)上的最小值非負(fù)．
故有 或 ．解得m的范圍為(－∞, －] ∪[0,+∞) ．
說(shuō)明 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來(lái)研究恒成立問(wèn)題，可使原本復(fù)雜的問(wèn)題變得易于解決．
三、參數(shù)分離法
將參變?cè)c主變?cè)獜暮悴坏仁街蟹蛛x，則在求函數(shù)最值時(shí)可避免繁冗的分類討論，從而更好地實(shí)施“函數(shù)最值法”．
例4 若不等式2x + 2≤a (x + y) 對(duì)一切正數(shù)x, y恒成立，求正數(shù)a的最小值．
解 參數(shù)分離，得a≥= f (x, y)．∵x +3y≥2，∴3 (x+y)≥2x + 2，∴f(x, y) ≤3初中數(shù)學(xué)論文，∴a≥f (x, y)max=3，∴a的最小值為3．
例5 奇函數(shù) f(x)是R上的增函數(shù)，若不等式f (m·3x) + f (3x－9x－2) < 0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解 ∵f(x)為奇函數(shù)，∴原不等式等價(jià)于：f (m·3x)< f(3x－9x－2)，又f(x)在R上為增函數(shù)，∴m·3x<3x－9x－2，不等式兩邊同除以3x，得m<3 x +－1= f (x)．
∵3 x +≥2，當(dāng)且僅當(dāng)3 x =時(shí)取“=”，∴f (x)min =2－1，故所求m的取值范圍為(－∞, 2－1)．
說(shuō)明 （1）在求解本例時(shí)，若無(wú)分離參數(shù)的求簡(jiǎn)意識(shí)，則必轉(zhuǎn)化為含參二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題，不可避免地要進(jìn)行分類討論．
（2）諸多數(shù)學(xué)問(wèn)題在通過(guò)代數(shù)變形后均可轉(zhuǎn)化為形如f (x) = ax+型函數(shù)的最值問(wèn)題，其最值的求解通常用重要不等式或函數(shù)單調(diào)性來(lái)完成．
四、數(shù)形結(jié)合法
將恒成立的不等式問(wèn)題，合理轉(zhuǎn)化為一函數(shù)圖像恒在另一函數(shù)圖象的上（下）方初中數(shù)學(xué)論文，進(jìn)而利用圖形直觀給出問(wèn)題的巧解．
例6 若不等式 3 | x + a |－2x + 6 > 0 在R中恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解 嘗試前述方法均較麻煩，而將原不等式變?yōu)?/p>
| x + a | >x－2，令f (x) = | x + a |，g(x) =x－2，作出它們的圖象如右圖所示，便有－a < 3即a >－3，所求范圍為(－3,+∞) ．
綜上所述，求恒成立不等中參數(shù)的取值范圍固然有四類彼此相聯(lián)的思考方法，但是，只有在函數(shù)思想的指導(dǎo)下，樹(shù)立數(shù)形結(jié)合與參數(shù)分離的求簡(jiǎn)意識(shí)，面對(duì)具體問(wèn)題時(shí)才能取得良好的解題效果．
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