引導(dǎo)學(xué)生在做數(shù)學(xué)中創(chuàng)造數(shù)學(xué)《最大公約數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)與反思
一 指導(dǎo)思想
人教版與蘇教版教材中對(duì)最大公約數(shù)認(rèn)識(shí)的編排順序是相同的：分別找出兩個(gè)數(shù)的約數(shù)→比較，生成公約數(shù)、最大公約數(shù)的概念→會(huì)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)→應(yīng)用（最大）公約數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題。
沿這種思路設(shè)計(jì)教學(xué)，學(xué)生對(duì)新知的接受常是被動(dòng)的，并且也只能達(dá)成“知識(shí)與技能”單一教學(xué)目標(biāo)。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)“強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力，情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。”在這新的教學(xué)理念指導(dǎo)下，怎樣結(jié)合學(xué)生的實(shí)際生活，在運(yùn)用知識(shí)解決問題的實(shí)踐操作中，經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生過程，萌發(fā)創(chuàng)造新知需要，并完成對(duì)新知的建構(gòu)呢？
二 教學(xué)設(shè)計(jì)
1．觀察——感知生活數(shù)學(xué)
學(xué)習(xí)約數(shù)與倍數(shù)之后，布置學(xué)生回家觀察客廳或臥室，也可到廣場(chǎng)上，看看所貼的地板磚數(shù)是否正好為整數(shù)塊數(shù)（沒有切割）。如果是，沿著長(zhǎng)鋪了多少塊？沿著寬鋪了多少塊？測(cè)量一方磚的邊長(zhǎng)和房間的長(zhǎng)、寬，方磚的邊長(zhǎng)與房間的長(zhǎng)、寬分別是什么關(guān)系？
2．思考——理解數(shù)學(xué)問題
課堂教學(xué)伊始，投影出貼了地板磚的長(zhǎng)方形廣場(chǎng)平面圖。學(xué)生能夠用約數(shù)、倍數(shù)知識(shí)解釋課前觀察到的數(shù)學(xué)問題：長(zhǎng)方形廣場(chǎng)的長(zhǎng)是方磚邊長(zhǎng)的m倍，寬是方磚邊長(zhǎng)的n倍。也可以說方磚的邊長(zhǎng)既是長(zhǎng)方形長(zhǎng)的約數(shù)，又是長(zhǎng)方形寬的約數(shù)。與師生交流之后，再出示一個(gè)新的問題：我們學(xué)校的畫廊高1.2米（12分米），長(zhǎng)是3米（30分米），美術(shù)組的同學(xué)想在上面正好貼滿大小相同的正方形裝飾畫，這種裝飾畫的邊長(zhǎng)應(yīng)為多少分米（取整數(shù)）？會(huì)有幾種不同的正方形？
3．實(shí)驗(yàn)——建構(gòu)數(shù)學(xué)模型
學(xué)生在對(duì)畫廊設(shè)計(jì)問題處于憤悱狀態(tài)之時(shí)，老師借用長(zhǎng)方形紙作示范引導(dǎo)：這是一張長(zhǎng)15cm，寬10cm的長(zhǎng)方形紙，我們可以把它設(shè)想為縮小后的校園畫廊，（當(dāng)然也可以想象為客廳或廣場(chǎng)的地面）老師在這張長(zhǎng)方形紙上設(shè)計(jì)了兩種不同的小正方形，（實(shí)物投影出示另一張畫了方格的長(zhǎng)方形紙）其中一面的小正方形邊長(zhǎng)為1cm，另一面的小正方形邊長(zhǎng)為5cm，它們同樣整分了這張長(zhǎng)方形紙而無剩余。想一想，小正方形邊長(zhǎng)除了1cm和5cm以外，還會(huì)有其它整厘米數(shù)嗎？根據(jù)剛才自己的理解，請(qǐng)拿出課前準(zhǔn)備好的一張長(zhǎng)12cm、寬8cm的長(zhǎng)方形紙，仿效老師的做法，設(shè)計(jì)能正好整分這個(gè)長(zhǎng)方形紙的小正方形，在紙上畫一畫，看一看有幾種不同的畫法設(shè)計(jì)，再想一想其中有什么規(guī)律？
4．總結(jié)——?jiǎng)?chuàng)造數(shù)學(xué)新知
學(xué)生完成上一步操作以后，投影展示學(xué)生設(shè)計(jì)的作品，（會(huì)有三種不同的設(shè)計(jì)：小正方形的邊長(zhǎng)分別為1cm、2cm、4cm）引導(dǎo)學(xué)生表述自己的想法，交流發(fā)現(xiàn)規(guī)律：因?yàn)樾≌叫我谜执箝L(zhǎng)方形，那么，小正方形的邊長(zhǎng)既要能整除大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，也要能整除長(zhǎng)方形的寬。也就是說小正方形的邊長(zhǎng)數(shù)1、2、4、既是12的約數(shù)，也是8的約數(shù)。同理，1和5既是15的約數(shù)，也是10的約數(shù)。
至此，通過鋪方磚的生活常識(shí)及幾何中長(zhǎng)、正方形關(guān)系的設(shè)計(jì)操作，學(xué)生實(shí)際上已初步感知和理解了公約數(shù)的存在及其在生活中的應(yīng)用。此時(shí)，再引導(dǎo)學(xué)生通過命名的形式抽象出新的數(shù)學(xué)概念—公約數(shù)：請(qǐng)你根據(jù)1、2、4分別與12和8共有的關(guān)系給這幾個(gè)數(shù)取一個(gè)新的名稱，師板書：1、2、4是12和8的（ ），待學(xué)生大都滿意之后再板書：4是12和8的（ ）。
板書設(shè)計(jì)如下：(單位：厘米)
1是10的約數(shù)，也是15的約數(shù) 1是12的約數(shù)，也是8的約數(shù)
5是10的約數(shù)，也是15的約數(shù) 2是12的約數(shù)，也是8的約數(shù)
4是12的約數(shù)，也是8的約數(shù)
1、5是15和10的( 公約數(shù) ) 1、2、4是12和8的(公約數(shù) )
5是15和10的( 最大公約數(shù) ) 4是12和8的(最大公約數(shù))
5．應(yīng)用——解決實(shí)際問題
先解決畫廊的裝飾畫設(shè)計(jì)，再解答小明分蛋糕的疑難：小明過生日的時(shí)候，媽媽給他訂了一個(gè)大的長(zhǎng)方體蛋糕，長(zhǎng)42 cm、寬30 cm、高24 cm，小明想把它均勻地切成大小相同的正方體后，再送給每一位客人，他怎樣切才能使蛋糕盡可能大一些？至少可以切成多少塊？
三 教學(xué)反思
1．重視數(shù)學(xué)思想——使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)終身受益
日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏指出：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終身受益。”從這個(gè)教學(xué)的設(shè)計(jì)中我們可以看到，教學(xué)中不只是讓學(xué)生接受一個(gè)概念知識(shí)或一種求最大公約數(shù)的方法；不只是注重?cái)?shù)學(xué)形式層面的教學(xué)，而是更重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)層面的教學(xué)，即讓學(xué)生在經(jīng)歷“數(shù)學(xué)家”解決問題的過程中去理解、去感受一種數(shù)學(xué)的思想和觀念──數(shù)學(xué)化思想。學(xué)生先是感知地板磚中隱含的數(shù)學(xué)，會(huì)用約數(shù)、倍數(shù)知識(shí)解釋簡(jiǎn)單的生活現(xiàn)象，進(jìn)而思考并嘗試解決畫廊內(nèi)裝飾畫的設(shè)計(jì)，學(xué)生自然會(huì)聯(lián)想到地板磚中數(shù)學(xué)知識(shí)。但是，從解釋到應(yīng)用設(shè)計(jì)，在沒有學(xué)習(xí)公約數(shù)的情況下會(huì)存在較大的難度。于是，創(chuàng)設(shè)了做數(shù)學(xué)的空間。讓他們?cè)谠O(shè)計(jì)正方形的過程中，逐漸感知公約數(shù)的存在，建立了解決這種問題的數(shù)學(xué)模型。再反思與總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生自己創(chuàng)造了“公約數(shù)”與“最大公約數(shù)”的概念。
數(shù)學(xué)化思想觀念是指用數(shù)學(xué)眼光去認(rèn)識(shí)和處理周圍事物或數(shù)學(xué)問題，可以培養(yǎng)學(xué)生良好的“用數(shù)學(xué)”意識(shí)，使數(shù)學(xué)關(guān)系成為學(xué)生的一種思維模式。而我們的課堂中，大多還是圍繞知識(shí)就事論事，沒有從形成學(xué)生思維模式的角度去展開知識(shí)形成和問題解決的思維過程，去注重現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想，去隱含重要的數(shù)學(xué)方法，這樣，學(xué)生學(xué)到的只是知識(shí)的堆砌，沒有自主的發(fā)展和對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的領(lǐng)悟。
2．注重學(xué)習(xí)體驗(yàn)——讓課堂煥發(fā)生命活力
撲面而來的新基礎(chǔ)教育課程改革的浪潮強(qiáng)列地震撼著知識(shí)為本的傳統(tǒng)課堂教學(xué)，關(guān)注生活、關(guān)愛學(xué)生、關(guān)照生命等極具時(shí)代氣息的教學(xué)理念呼喚著以人為本的課堂。
注意學(xué)習(xí)過程中的感悟、體驗(yàn)是本節(jié)課設(shè)計(jì)的又一重點(diǎn) 。觀察、測(cè)量中感悟生活中的教學(xué)；對(duì)長(zhǎng)方形紙中小方格設(shè)計(jì)的探索；總結(jié)、反思中感知公約數(shù)的存在；解決較復(fù)雜的分蛋糕問題時(shí)體會(huì)公約數(shù)的作用。教學(xué)中的各個(gè)環(huán)節(jié)，都較好地發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，在動(dòng)手操作與設(shè)計(jì)中建構(gòu)了新舊知識(shí)的聯(lián)系。經(jīng)歷了從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出(最大)公約數(shù)的概念，在做數(shù)學(xué)的過程中體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的真實(shí)意義。
華師大葉瀾教授提出了“教育的.生命基礎(chǔ)”理論，主張“教育具有提升人的生命價(jià)值和創(chuàng)造人的精神生命的意義，對(duì)生命潛能的開發(fā)和發(fā)展需要的滿足，教育具有不可替代的重要責(zé)任。”以學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)與活動(dòng)為基礎(chǔ)，以學(xué)生的積極參與、身心投入為前提，以學(xué)生的自主體驗(yàn)為核心的注重學(xué)生體驗(yàn)的教學(xué)活動(dòng)，能夠提升學(xué)生的生命質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生和諧發(fā)展。如果教學(xué)過程僅是師生間簡(jiǎn)單的知識(shí)“授一受”過程，剝奪學(xué)生對(duì)知識(shí)的主體性體驗(yàn)，必然使他們養(yǎng)成被動(dòng)而不是主動(dòng)的，依賴而不是獨(dú)立的，接受而不是創(chuàng)造的體驗(yàn)。那就會(huì)喪失了求知的欲望、體驗(yàn)的沖動(dòng)和創(chuàng)造的才能，課堂學(xué)習(xí)中學(xué)生的生命意義就無從體現(xiàn)。所以《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，把目標(biāo)區(qū)分為知識(shí)技能目標(biāo)和過程性目標(biāo)，而過程性目標(biāo)中的“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索”也可理解為學(xué)生的體驗(yàn)過程。體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)思考、解決問題、以及情感與態(tài)度等方面要求的同時(shí)，隱含了對(duì)學(xué)生生命質(zhì)量的關(guān)注和重視。
3．開發(fā)教學(xué)資源——師生同為資源創(chuàng)生的主體
教材只是供教學(xué)使用的一種材料，不是一成不變的經(jīng)典。面對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)，教師要有強(qiáng)烈的課程資源開發(fā)意識(shí)，不僅自己能針對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容開發(fā)出有利學(xué)生學(xué)習(xí)和發(fā)展的新材料，而且要善于引導(dǎo)學(xué)生去尋找和發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源。在本節(jié)課的教學(xué)中，除了教師提示的臥室(廣場(chǎng))地板磚，畫廊設(shè)計(jì)、分蛋糕之外，學(xué)生也列舉了許多類似的現(xiàn)象：教室內(nèi)水磨石地面，銀行墻壁上的方形面磚，家中客廳頂部木質(zhì)方塊的裝飾……學(xué)生在資源的識(shí)別與解釋中，逐步掌握了(最大)公約數(shù)的知識(shí)，為今后創(chuàng)造性的運(yùn)用知識(shí)打下了良好的基礎(chǔ)。
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