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大學(xué)線代知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它的研究對(duì)象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。以下是“大學(xué)線代知識(shí)點(diǎn)總結(jié)”希望能夠幫助的到您！
01、余子式與代數(shù)余子式 a11a12a13（1）設(shè)三階行列式D＝a21a22a23，則
a31a32a33①元素a11，a12，a13的余子式分別為：M11＝
a22a23a32a33，M12＝
a21a23a31a33，M13＝
a22a23a32a33a21a22a31a32
對(duì)M11的解釋：劃掉第1行、第1列，剩下的就是一個(gè)二階行列式行列式即元素a11的余子式M11。其他元素的余子式以此類推。
②元素a11，a12，a13的代數(shù)余子式分別為：A11＝(－1)1＋1M11 ，A12＝(－1)1＋2M12 ， A13＝(－1)1＋3M13 . 對(duì)Aij的解釋（i表示第i行，j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋j M ij . （N階行列式以此類推）
�。�2）填空題求余子式和代數(shù)余子式時(shí)，最好寫原式。比如說(shuō)，作業(yè)P1第1題：
M31＝
0403，A31＝(-1)3+1
0403
（3）例題：課本P8、課本P21-27、作業(yè)P1第1題、作業(yè)P1第3題
02、主對(duì)角線 一個(gè)n階方陣的主對(duì)角線，是所有第k行第k列元素的全體，k=1, 2, 3? n，即從左上到右下 的一條斜線。與之相對(duì)應(yīng)的稱為副對(duì)角線或次對(duì)角線，即從右上到左下的一條斜線。
03、轉(zhuǎn)置行列式
即元素aij與元素aji的位置對(duì)調(diào)（i表示第i行，j表示第j列），比如說(shuō)，a12與a21的位置對(duì)調(diào)、a35與a53的位置對(duì)調(diào)。
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04、行列式的性質(zhì) 詳見課本P5-8（性質(zhì)1.1.1~ 1.1.7） 其中，性質(zhì)1.1.7可以歸納為這個(gè)：
? A ，i＝k，ai1Ak1＋ai2Ak2＋ ? ＋ainAkn＝ ? （i表示第i行，k表示第k列）
? 0 ，i?k熟練掌握行列式的性質(zhì)，可以迅速的簡(jiǎn)化行列式，方便計(jì)算。 例題：作業(yè)P1第2題
05、計(jì)算行列式 （1）計(jì)算二階行列式
a11a12a21a22a11a12a21a22：
�、俜椒ǎㄊ走x）：
a11a12a21a22＝a11a22－a12a21（即，左上角×右下角－右上角×左下角）
�、诜椒ǎ海絘11A11＋a12A12＝a11a22－a12a21
例題：課本P14
a11a12a13（2）計(jì)算三階行列式a21a22a23：
a31a32a33a11a12a13a21a22a23＝a11A11＋a12A12＋a13A13＝a11(－1)1＋1M11 ＋a12(－1)1＋2M12 ＋a13(－1)1＋3M13 a31a32a33N階行列式的計(jì)算以此類推。通常先利用行列式的性質(zhì)對(duì)行列式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，0元素較多時(shí)方便計(jì)算.（r是row，即行。c是column，即列）
例題：課本P5、課本P9、課本P14、作業(yè)P1第4題、作業(yè)P2第3小題
�。�3）n階上三角行列式（0元素全在左下角）與n階下三角行列式（0元素全在右上角）：
D＝a11a22?ann（主對(duì)角線上元素的乘積） 例題：課本P10、作業(yè)P3第4小題
有的題可以通過(guò)“從第二行起，將各行的元素對(duì)應(yīng)加到第一行”轉(zhuǎn)化成上三角行列式 例題：課本P11
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�。�4）范德蒙行列式：詳見課本P12-13
（5）有的題可以通過(guò)“從第二行起，將各行的元素對(duì)應(yīng)加到第一行”提取出“公因式”，得到
元素全為1的一行，方便化簡(jiǎn)行列式。 例題：作業(yè)P2第1小題、作業(yè)P2第2小題
06、矩陣中未寫出的元素 課本P48下面有注明，矩陣中未寫出的元素都為0
07、幾類特殊的方陣 詳見課本P30-32
�。�1）上（下）三角矩陣：類似上（下）三角行列式 （2）對(duì)角矩陣：除了主對(duì)角線上的元素外，其他元素都為0 （3）數(shù)量矩陣：主對(duì)角線上的元素都相同 （4）零矩陣：所有元素都為0，記作O
（5）單位矩陣：主對(duì)角線上的元素都為1，其他元素全為0，記作E或En （其行列式的.值為1）
08、矩陣的運(yùn)算規(guī)則 （1）矩陣的加法（同型的矩陣才能相加減，同型，即矩陣A的行數(shù)與矩陣B的行數(shù)相同；
矩陣A的列數(shù)與矩陣B的列數(shù)也相同）： ①課本P32“A＋B”、“A－B” ②加法交換律：A＋B＝B＋A
③加法結(jié)合律：A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C （2）矩陣的乘法（基本規(guī)則詳見課本P34陰影）：
①數(shù)與矩陣的乘法： I.課本P33“kA”
II.kA＝knA（因?yàn)閗A只等于用數(shù)k乘以矩陣A的一行或一列后得到的矩陣的行列式） ②同階矩陣相乘（高中理科數(shù)學(xué)選修矩陣基礎(chǔ)）：
?a11a12??b11b12??a11b11?a12b21a11b12?a12b22???a21a22??×??b21b22??＝??a21b11?a22b21a21b12?a22b22?? ???????AB?描述：令左邊的矩陣為①，令右邊的矩陣為②，令計(jì)算得到的矩陣為??CD??，則
??
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A的值為：①中第1行的每個(gè)元素分別乘以②中第1列的每個(gè)元素，并將它們相加。
即A＝a11×b11＋a12×b21
B的值為：①中第1行的每個(gè)元素分別乘以②中第2列的每個(gè)元素，并將它們相加。
即B＝a11×b12＋a12×b22
C的值為：①中第2行的每個(gè)元素分別乘以②中第1列的每個(gè)元素，并將它們相加。
即C＝a21×b11＋a22×b21
D的值為：①中第2行的每個(gè)元素分別乘以②中第2列的每個(gè)元素，并將它們相加。
即D＝a21×b12＋a22×b22.
?a11a12a13??b11b12b13??a11b11?a12b21?a13b31a11b12?a12b22?a13b32a11b13?a12b23?a13b33???????a21a22a23b21b22b23a21b11?a22b21?a23b31a21b12?a22b22?a23b32a21b13?a22b23?a23b33×＝?????? ?a31a32a33??b31b32b33??a31b11?a32b21?a33b31a31b12?a32b22?a33b32a31b13?a32b23?a33b33????????A?描述：令左邊的矩陣為①，令右邊的矩陣為②，令計(jì)算得到的矩陣為?D?G?BEHC??F?，則 I??A的值為：①中第1行的每個(gè)元素分別乘以②中第1列的每個(gè)元素，并將它們相加。
即A＝a11×b11＋a12×b21＋a13×b31
B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法與A類似。
�、蹟�(shù)乘結(jié)合律：k（lA）＝（kl）A ，（kA）B＝A（kB）＝k（AB） ④數(shù)乘分配律：（k＋l）A＝kA＋lA ，k（A＋B）＝kA＋kB ⑤乘法結(jié)合律：（AB）C＝A（BC）
�、蕹朔ǚ峙渎桑篈（B＋C）＝AB＋AC ，（A＋B）C＝AC＋BC ⑦需注意的：
I.課本P34例題兩個(gè)不等于零的矩陣的乘積可以是零矩陣 II.課本P34例題數(shù)乘的消去律、交換律不成立
III.一般來(lái)講，（AB）k ≠ A k B k，因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律
IV.課本P40習(xí)題第2題：（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2 ，（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）（A－B）不一定等于A2－B2 . 當(dāng)AB＝BA時(shí)，以上三個(gè)等式均成立 （3）矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)律：
① (AT )T＝A ② (A±B)T＝A T±B T ③ (kA)T＝kAT ④ (AB)T＝B TAT
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