高中四個(gè)均值不等式推導(dǎo)過程詳解

時(shí)間：2025-05-06 09:11:47 好文我要投稿

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　　四個(gè)均值不等式

　　1、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

　　2、幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

　　3、算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n

　　4、平方平均數(shù)：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n

　　這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即為均值不等式。

　　均值不等式用數(shù)學(xué)歸納法的證明

　　第一步：等價(jià)變換，分子增加又減去同一項(xiàng)，巧妙處是這一項(xiàng)指數(shù)的選取，正好是要證明的右端。

　　第二步：(1)把前面(a1+a2+...+ak)用上面假設(shè)n=k成立時(shí)較小的右端乘k代替，(a1+a2+...+ak)/k≥(a1a2...ak)^(1/k),兩邊乘k：

　　a1+a2+...+ak≥k(a1a2...ak)^(1/k),因此≥成立。

　　(2)難點(diǎn)是a(k+1)+(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

　　其實(shí)也很好證明(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1)，看成是k-1個(gè)數(shù)，加上a(k+1)，也是k個(gè)數(shù)。

　　根據(jù)上面假設(shè)，n=k時(shí)，(a1+a2+...+ak)/k≥(a1a2...ak)^(1/k)是成立的，注意!!!a1，a2，...，ak只是正數(shù)的代表，不限于什么正數(shù)，換成k個(gè)數(shù)：a(k+1)，和k-1個(gè)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1)，這個(gè)不等式也是成立的!代換一下，就成了：

　　a(k+1)+(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

　　第三步：

　　前面兩項(xiàng)提取k之后成為：

　　(a1a2...ak)^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

　　使用前面一開始證明的n=2時(shí)的結(jié)果，a1+a2≥2√(a1a2)(當(dāng)成公式，不是當(dāng)成數(shù))

　　(a1a2...ak)^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

　　≥2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)}^(1/2)

　　=2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/k(k+1)]]}^(1/2)

　　=2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/(k+1)-1/k(k+1)]]}^(1/2)

　　=2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/(k+1)-1/k+1/(k+1)]]}^(1/2)

　　=2{(a1a2...aka(k+1))^(1/k)[(a1a2...a(k+1))^[2/(k+1)-1/k]]}^(1/2)

　　=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/(k+1)-1/k+1/k]]}^(1/2)