初中數學《從梯子的傾斜程度談起》優秀教學設計
教學目標
(一)教學知識點
1.經歷探索直角三角形中邊角關系的過程，理解正弦和余弦的意義.
2.能夠運用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比. 3.能根據直角三角形中的邊角關系，進行簡單的計算.
4.理解銳角三角函數的意義.
(二)能力訓練要求
1.經歷類比、猜想等過程.發展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點.
2.體會數形結合的思想，并利用它分析、解決問題，提高解決問題的能力.
(三)情感與價值觀要求
1.積極參與數學活動，對數學產生好奇心和求知欲.
2.形成合作交流的意識以及獨立思考的習慣
教學重點
1.理解銳角三角函數正弦、余弦的意義，并能舉例說明.
2.能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.
3.能根據直角三角形的邊角關系，進行簡單的計算.
教學難點
用函數的觀點理解正弦、余弦和正切.
教學方法
探索——交流法.
教具準備
多媒體演示.
教學過程
Ⅰ.創設情境，提出問題，引入新課
[師]我們在上一節課曾討論過用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜程度，并且得出了當傾斜角確定時，其對邊與斜邊之比隨之確定.也就是說這一比值只與傾斜角有關，與直角三角形的大小無關.并在此基礎上用直角三角形中銳角的對邊與鄰邊之比定義了正切.
現在我們提出兩個問題：
[問題1]當直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎?
[問題2]梯子的傾斜程度與這些比有關嗎?如果有，是怎樣的關系?
Ⅱ.講授新課
1.正弦、余弦及三角函數的定義
多媒體演示如下內容：
想一想：如圖
(1)直角三角形AB1C1
和直角三角形AB2C2有
什么關系?
(2) 有什么
關系? 呢?
(3)如果改變A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么結論?
(4)如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什么結論?
請同學們討論后回答.
[生]∵A1C1⊥BC1，A2C2⊥BC2，
∴A1C1//A2C2.
∴Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2.
(相似三角形對應邊成比例).
由于A2是梯子A1B上的任意—點，所以，如果改變A2在梯子A1B上的位置，上述結論仍成立.
由此我們可得出結論：只要梯子的傾斜角確定，傾斜角的對邊.與斜邊的比值，傾斜角
的鄰邊與斜邊的比值隨之確定.也就是說，這一比值只與傾斜角有關，而與直角三角形大小無關.
[生]如果改變梯子A1B的傾斜角的大小，如虛線的位置，傾斜角的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值隨之改變.
[師]我們會發現這是一個變化的過程.對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值都隨著傾斜角的改變而改變，同時，如果給定一個傾斜角的值，它的對邊與斜邊的'比值，鄰邊與斜邊的比值是唯一確定的.這是一種什么關系呢?
[生]函數關系.
[師]很好!上面我們有了和定義正切相同的基礎，接著我們類比正切還可以有如下定義：(用多媒體演示)
在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.如圖，∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦(sine)，記作sinA，即
sinA＝
∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine)，記作cosA，即
cosA=
銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數(trigonometricfunction).
[師]你能用自己的語言解釋一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的三角函數”呢?
[生]我們在前面已討論過，當直角三角形中的銳角A確定時.∠A的對邊與斜邊的比值，∠A的鄰邊與斜邊的比值，∠A的對邊與鄰邊的比值也都唯一確定.在“∠A的三角函數”概念中，∠A是自變量，其取值范圍是0°<A<90°；三個比值是因變量.當∠A變化時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應.
2.梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關系
[師]我們上一節知道了梯子的傾斜程度與tanA有關系：tanA的值越大，梯子越陡.由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sinA、cosA有關系呢?如果有關系，是怎樣的關系?
[生]如圖所示，AB＝A1B1，
在Rt△ABC中，sinA= ，在
Rt△A1B1C中，sinA1= .
∵ ＜ ,
即sinA<sinA1，而梯子A1B1比梯子AB陡，
所以梯子的傾斜程度與sinA有關系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的傾斜程度.
[生]同樣道理cosA= cosA1＝ ,
∵AB=A1B1 ＞ 即cosA>cosA1，
所以梯子的傾斜程度與cosA也有關系.cosA的值越小，梯子越陡.
[師]同學們分析得很棒，能夠結合圖形分析就更為妙哉!從理論上講正弦和余弦都可以刻畫梯子的傾斜程度，但實際中通常使用正切.
3.例題講解
多媒體演示.
[例1]如圖，在Rt△ABC
中，∠B=90°，AC＝
200.sinA＝0.6，求BC
的長.
分析：sinA不是“sin”與“A”的乘積，sinA表示∠A所在直角三角形它的對邊與斜邊的比值，已知sinA＝0.6， ＝0.6.
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200.
sinA＝0.6，即= 0.6，BC＝AC×0.6＝200×0.6=120.
思考：(1)cosA＝?
(2)sinC＝？ cosC＝?
(3)由上面計算，你能猜想出什么結論?
解：根據勾股定理，得
AB＝ =160.
在Rt△ABC中，CB＝90°.
cosA＝ ＝0.8，
sinC= =0.8，
cosC＝ ＝0.6，
由上面的計算可知
sinA＝cosC＝O.6，
cosA＝sinC＝0.8.
因為∠A+∠C＝90°，所以，結論為“一個銳角的正弦等于它余角的余弦”“一個銳角的余弦等于它余角的正弦”.
[例2]做一做：
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝ ，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你還能得出類似例1的結論嗎?請用一般式表達.
分析：這是正弦、余弦定義的進一步應用，同時進一步滲透sin(90°-A)＝cosA，cos
(90°-A)=sinA.
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10，cosA＝ ，cosA＝ ,
∴AB= ,
sinB＝
根據勾股定理，得
BC2＝AB2-AC2＝( )2-102=
∴BC＝ .
∴cosB＝ ,[
sinA＝
可以得出同例1一樣的結論.
∵∠A+∠B=90°，
∴sinA：cosB=cos(90-A)，即sinA＝cos(90°-A)；
cosA＝sinB＝sin(90°-A)，即cosA＝sin(90°-A).
�、�.隨堂練習
多媒體演示
1.在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.
分析：要求sinB，cosB，tanB，先要構造∠B所在的直角三角形.根據等腰三角形“三
線合一”的性質，可過A作AD⊥BC，D為垂足.
解：過A作AD⊥BC，D為垂足.
∴AB=AC，∴BD=DC= BC=3.
在Rt△ABD中，AB＝5，BD=3，
∴AD＝4.
sinB＝ cosB＝ ,
tanB= .
2.在△ABC中，∠ C＝90°，sinA＝ ，BC=20，求△ABC的周長和面積.
解：sinA= ，∵sinA= ，BC＝20，
∴AB＝ ＝＝25.
在Rt△BC中，AC＝ =15，
∴ABC的周長＝AB+AC+BC＝25+15+20＝60，
△ABC的面積： AC×BC= ×15×20＝150
3.(2003年陜西)(補充練習)
在△ABC中.∠C=90°，若tanA= ，
則sinA= .
解：如圖，tanA= = .
設BC=x，AC=2x，根據勾股定理，得
AB= .
∴sinA= .
Ⅳ.課時小結
本節課我們類比正切得出了正弦和余弦的概念，用函數的觀念認識了三種三角函數，即在銳角A的三角函數概念中，∠A是自變量，其取值范圍是0°<∠A<90°；三個比值是因變量.當∠A確定時，三個比值分別唯一確定；當∠A變化時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應.類比前一節課的內容，我們又進一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關系以及用正弦和余弦的定義來解決實際問題.
Ⅴ.課后作業
習題1、2第1、2、3、4題
Ⅵ.活動與探究
已知：如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，求證：BC2＝ABBD.(用正弦、余弦函數的定義證明)
[過程]根據正弦和余弦的定義，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一個直角三角形中，在Rt△ABC中，CD⊥AB.所以圖中含有三個直角三角形.例如∠B既在Rt△BDC中，又在Rt△ABC中，涉及線段BC、BD、AB，由正弦、余弦的定義得cosB＝ ，cosB= .
[結果]在Rt△ABC中，cosB＝
又∵CD⊥AB.
∴在Rt△CDB中，cosB＝
∴ = BC2＝ABBD.
板書設計
§1.1.2 從梯子傾斜程度談起(二)
1.正弦、余弦的定義在Kt△ABC中，如果銳角A確定.
sinA＝ [
cosA＝
2.梯子的傾斜程度與sinA和cosA有關嗎?
sinA的值越大，梯子越陡
cosA的值越小，梯子越陡
3.例題講解
4.隨堂練習
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