積化和差公式的證明和記憶
積化和差公式的證明和記憶
積化和差，指初等數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的一組恒等式。
公式
sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2【注意右式前的負(fù)號(hào)】
cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2
sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2
cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2
證明
法1
積化和差恒等式可以通過展開角的和差恒等式的右手端來證明。
即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明：
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ）-(cosαcosβ+sinαsinβ）]
=-1/2[cos（α+β）-cos（α-β）]
其他的3個(gè)式子也是相同的證明方法。
（該證明法逆向推導(dǎo)可用于和差化積的計(jì)算，參見和差化積）
法2
根據(jù)歐拉公式，e^ix=cosx+isinx
令x=a+b
得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
記憶方法
積化和差公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn)，下面指出了特點(diǎn)各自的簡(jiǎn)單記憶方法。
【1】這一點(diǎn)最簡(jiǎn)單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域應(yīng)該 是
[-2,2]，而積的值域確是[-1,1]，因此除以2是必須的。
也可以通過其證明來記憶，因?yàn)檎归_兩角和差公式后，未抵消的兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù)2，如：
cos（α-β）-cos（α+β）
=(cosαcosβ+sinαsinβ）-(cosαcosβ-sinαsinβ）
=2sinαsinβ
故最后需要除以2。
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