高二數學推理與證明
高二數學推理與證明
一. 教學內容：
推理與證明
二. 本周教學目標：
1. 結合已經學過的數學實例和生活實例，了解合情推理，能利用歸納和類比等方法進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數學中的作用。
2. 結合已經學過的數學實例和生活實例，了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的模式，并能運用它們進行一些簡單的推理。
3. 了解直接證明的兩種基本方法分析法與綜合法；了解間接證明的一種基本方法反證法。
三. 本周知識要點：
（一）合情推理與演繹推理
1. 歸納推理與類比推理
（1）已知數列 的通項公式 ，記 ，試通過計算 的值，推測出 的值。
（2）若數列 為等差數列，且 ，則 。現已知數列 為等比數列，且 ，類比以上結論，可得到什么結論？你能說明結論的正確性嗎？
【學生討論：】（學生討論結果預測如下）
（1）
由此猜想，
（2）結論：
證明：設等比數列 的公比為 ，則 ，所以
所以
如（1）是從個別事實中推演出一般結論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。
如（2）是根據兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理。
說明：
（1）歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發現一般性規律的重要方法。
（2）歸納推理的一般步驟：
①通過觀察個別情況發現某些相同的性質。
②從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般命題（猜想）。
（3）類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質。類比的性
質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關系就越相關，從而類比得出的結論就越可靠。
（4）類比推理的一般步驟：
①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。
②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）。
2. 演繹推理
現在冰雪覆蓋的南極大陸，地質學家說它們曾在赤道附近，是從熱帶飄移到現在的位置的，為什么呢？原來在它們的地底下，有著豐富的煤礦，煤礦中的樹葉表明它們是闊葉樹。從繁茂的闊葉樹可以推知當時有溫暖濕潤的氣候。所以南極大陸曾經在溫濕的熱帶。
被人們稱為世界屋脊的西藏高原上，一座座高山高入云天，巍然屹立。西藏高原南端的喜馬拉雅山橫空出世，雄視世界。珠穆朗瑪峰是世界第一高峰，登上珠峰頂，一覽群山小。誰能想到，喜馬拉雅山所在的地方，曾經是一片汪洋，高聳的山峰的前身，竟然是深不可測的大海。地質學家是怎么得出這個結論的呢？
科學家們在喜馬拉雅山區考察時，曾經發現高山的地層中有許多魚類、貝類的化石。還發現了魚龍的化石。地質學家們推斷說，魚類貝類生活在海洋里，在喜馬拉雅山上發現它們的化石，說明喜馬拉雅山曾經是海洋。科學家們研究喜馬拉雅變遷所使用的方法，就是一種名叫演繹推理的方法。
1. 演繹推理：從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論的推理方法。
2. 演繹推理的一般模式
分析喜馬拉雅山所在的地方，曾經是一片汪洋的推理過程：
魚類、貝類、魚龍，都是海洋生物，它們世世代代生活在海洋里……大前提
在喜馬拉雅山上發現它們的化石……小前提
喜馬拉雅山曾經是海洋……結論
M－P（M是P）
常用格式：
S－M（S是M）
S－P（S是P）
三段論：（1）大前提……已知的一般原理
（2）小前提……所研究的特殊情況
（3）結論……根據一般原理，對特殊情況作出的判斷
用集合論的觀點分析：若集合M中的所有元素都具有性質P，S是M的一個子集，那么S中所有元素也都具有性質P。
練習：分析下面幾個推理是否正確，說明為什么？
（1）因為指數函數 是增函數，
（2）因為無理數是無限小數
而 是指數函數 而是無限小數
所以 是增函數 所以是無理數
（3）因為無理數是無限小數，而 （=0.333……）是無限小數，所以 是無理數
說明：在應用“三段論”進行推理的過程中，大前提、小前提或推理形式之一錯誤，都可能導致結論錯誤。
比較：合情推理與演繹推理的區別與聯系
從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個體到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理。
從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待于進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確。
人們在認識世界的過程中，需要通過觀察、實驗等獲取經驗；也需要辨別它們的真偽，或將積累的知識加工、整理，使之條理化，系統化，合情推理和演繹推理分別在這兩個環節中扮演著重要的角色。
就數學而言，演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的重要思維過程，但數學結論、證明思路等的發現，主要靠合情推理。因此，我們不僅要學會證明，也要學會猜想。
（二）直接證明與間接證明
1. 綜合法與分析法
（1）綜合法
一般地，利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理證明，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法又叫順推證法。
它的基本思路是“由因導果”，即從“已知”得“可知”，再逐步推向未知的方法。
（2）分析法
我們從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件，這種證明方法叫分析法，它的特點是：從未知看需知，再逐步靠近已知。
2. 間接證明
反證法
一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。
（三）數學歸納法
用數學歸納法證明一個與正整數有關的命題的步驟：
（1）證明：當n取第一個值 時結論正確；
（2）假設當n=k（k ，且k ）時結論正確，證明當n=k+1時結論也正確。
由（1），（2）可知，命題對于從n0開始的所有正整數n都正確。
數學歸納法被用來證明與自然數有關的命題： 遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉。
【典型例題】
例1. 如圖所示，在銳角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D，E為垂足，求證：AB的中點M到D，E的距離相等。
證明：（1）因為有一個內角為直角的三角形是直角三角形，…………大前提
在△ABD中，ADBC，ADB＝90，………………………小前提
所以△ABD是直角三角形。 ……………………………………結論
同理，△AEB也是直角三角形
（2）因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，…………………大前提
而M是Rt△ABD斜邊AB的中點，DM是斜邊上的中線，………小前提
所以DM＝ ，……………………………………………………結論
同理，EM＝ 。 所以DM＝EM
例2. 已知 ，求證： 。
證法一（綜合法）：
證法二（分析法）： ，為了證明 ，
只需證明 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 .
成立，
成立
例3：證明： 不能為同一等差數列的三項。
證明：假設 、 、 為同一等差數列的三項，則存在整數m，n滿足
= +md ① = +nd ②
① n－② m得： n－ m= （n－m）
兩邊平方得： 3n2+5m2－2 mn=2（n－m）2
左邊為無理數，右邊為有理數，且有理數 無理數
所以，假設不正確。即 、 、 不能為同一等差數列的三項
例4. 通過計算可得下列等式：
……
將以上各式分別相加得：
即：
類比上述求法：請你求出 的值。
解：
……
將以上各式分別相加得：
所以：
例5.自然狀態下魚類是一種可再生資源，為持續利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響，用 表示某魚群在第 年年初的總量， ，且 ＞0。不考慮其它因素，設在第 年內魚群的繁殖量及捕撈量都與 成正比，死亡量與 成正比，這些比例系數依次為正常數 。
（Ⅰ）求 與 的關系式；
（Ⅱ）猜測：當且僅當 ， 滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）
解：（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為
（II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， n ，從而由（*）式得
因為x10，所以ab。
猜測：當且僅當ab，且 時，每年年初魚群的總量保持不變。
【模擬試題】
1. 如果數列 是等差數列，則
A. B.
C. D.
2. 下面使用類比推理正確的是
A. “若 ，則 ”類推出“若 ，則 ”
B. “若 ”類推出“ ”
C. “若 ” 類推出“ （c0）”
D. “ ” 類推出“ ”
3. 有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數是真分數，整數是有理數，則整數是真分數”結論顯然是錯誤的，是因為
A. 大前提錯誤 B. 小前提錯誤 C. 推理形式錯誤 D. 非以上錯誤
4. 設 ， ，nN，則
A. B. － C. D. －
5. 在十進制中 ，那么在5進制中數碼2004折合成十進制為
A. 29 B. 254 C. 602 D. 2004
6. 函數 的圖像與直線 相切，則 =
A. B. C. D. 1
7. 下面的四個不等式：① ；② ；③ ；④ 。其中不成立的有
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
8. 類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關系： 。若三棱錐A－BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側面積與底面積之間滿足的關系為 。
9. 從 中，可得到一般規律為 （用數學表達式表示）
10. 函數y＝f（x）在（0，2）上是增函數，函數y=f（x+2）是偶函數，則f（1），f（2.5），f（3.5）的大小關系是 。
11. 在△ABC中， ，判斷△ABC的形狀
12. △ABC三邊長 的倒數成等差數列，求證： 。
13. 在各項為正的數列 中，數列的前n項和 滿足
（1） 求 ；（2） 由（1）猜想數列 的通項公式；（3） 求
【試題答案】
1. B 2. C 3. C 4. D 5. B 6. B 7. A
8. .
9.
10. f（2.5）f（1）f（3.5）
11. ABC是直角三角形； 因為sinA=
據正、余弦定理得 ：（b+c）（a2－b2－c2）=0；
又因為a，b，c為 ABC的三邊，所以 b+c 0
所以 a2=b2+c2
即 ABC為直角三角形。
12. 證明： =
為△ABC三邊，
，
13. （1） ；
（2） ；
（3） 。
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